손잡이 뿐만 아니라 손잡이 너머, 벽 안에 카트리지도 교체하셔야 합니다. 보통 Delta나 Moen 브랜드가 많은데, 지금 설치된 브랜드를 확인하시고, 해당 브랜드 혹은 호환되는 제품 중에 turn 방식의 카트리지와 핸들로 교체하시면 될 거 같습니다. 저는 Moen 제품 핸들만 교체해 본 적이 있는데, Moen 웹사이트에 열고닫는 방식에 따른 제품 설명이 나와 있던 걸로 기억합니다. 

자세한 설명 감사합니다.

저희 집도 push/pull 방식인데 사실 불편한것도 문제가 되지만 오래되면 푸쉬/풀도 부드럽게 되는게 아니라 힘을 더 주어야하게 되며 나중에는 완전히 푸쉬가 안되서 물이 세는 경우도 종종 생겨서 카트리지를 언제가는 교체해야 한다고 하네요.     https://youtu.be/pJCKJ7jVLng?feature=shared  에서 카트리지 DIY 교체가 잘 설명 되있어요.    

저도 풀러머 두명 불렸는데 벽을 뜻어내서 파이프는 막고서 다시 설치해야 해야지 "처음부터 좌우로 turn하는 방식" 한다고 하네요.  혹시나 큰 공사를 하지 않고도 할수 있는 방법을 찾으면 알려주세요. 

앞 댓글처럼 카트리지 교환하셔야 합니다. 카트리지 교환시 같은 브랜드에 원래 있던 카트리지랑 같은 사이즈나 교체 가능한 사이즈인지 확인하셔야 해요. 카트리지가 교환 가능한 제품으로 턴 하는 제품으로 고르시면 바꿀수 있습니다.