일단 다음을 구해보시오
1^3 + 5^3 + 3^3 = ??
16^3 + 50^3 + 33^3 = ??
166^3 + 500^3 + 333^3 = ??
1666^3 + 5000^3 + 3333^3 = ??
패턴이 보이시오?
일반화하고 증명하시오
노가다로 풀엇어요
아름다운 해법 잇으면 올려 주세요
난이도: 10학년
계속 올리시는 문제들은 학교 숙제인가요?
패턴도 못보는 저는 패스
패턴은 정말 이쁘게 나오네요..
패턴은 쉬이 보여요.
근데 그다음 어쩌라고요...ㅠㅠ
(일단 ^가 뭔지 모름.
“^^”아걸로만 써봐서..)
모두다 등비수열 혹은 등비수열의 합 으로 분해해서 정리하면 답이 나올 것 같은디유?
예를들어,
앞에 166666 부분은 100000+66666 = 10^5 + (6+60+600+6000+60000) = 10^5 + 6*(10^5-1)/(10-1)
일반화하면, 10^n + 6*(10^n-1)/(10-1).. 이런식으로
히고님 노가다로 어떻게 풀어요??
계산기로? 아님 손으로?
공대스타일로 에스티메잇해서 풀었더니 다 틀려요 ㅋㅋㅋㅋㅋ 정밀도가 좀 떨어지네요
ㅋㅋ
일테면요
16 * 6 = 96 = 100 - 4 = 10^2 - 4
166* 6 = 996 = 1000 - 4 = 10^3 - 4
...
33 * 3 = 100 - 1 = 10^2 - 1
333 * 3 = 1000 - 1 = 10^3 - 1
이렇게 좌변은 10^n 의 3차식이구요
우변도 마찬가지로 10^n 의 3차식
좌우변의 계수 네개를 비교하면 똑같아요
고로 항등식 !
그래서 노가다요
곱하기 3이랑 곱하기 6을 왜 하는진 모르겟..
다 틀리지만 비스무레하게는 나오는 스타일
4/3 * 5^3
4/3 * 50^3
4/3 * 500^3
...
정밀하게 하는 노가다방법 하나더는요
x^3 + (3x+2)^3 + (2x+1)^3 = x(2(3x+2))^2 + 2(3x+2)^2 + (2x+1)
where x=1, 16, 166, 1666, ...
노가다나 매스매티카가 필요해요
an^3 + bn^3 + cn^3이고....
an=3 x 5 Sigma k=0, n 10^k +1
bn= 5 x 10^n
cn = 3 x Sigma k=0, n 10^k
우변은.... an x 10^(2(n+1)) + bn x 10^(n+1) + cn
궁금한게 있는데 히고님은 백그라운드가 엔지니어링? 수학? 경제학? 중에 하나인가요? + 백그라운드가 어떻게 되시는지;
이게 수열로 접근하면 증명이 되는 듯 하면서 좀 가다보면 막히더라구요.
예전에 본 거같아서, 엑셀로 치팅을 좀 해보니 생각한 조합이 맞더라구요 (증명해보겠다고 낑낑댔던 기억이 ㅎㅎㅎ)
1||5||3 = 1^3 + 5^3 + 3^3 = 153
16||50||33 = 16^3 + 50^3 + 33^3 = 165033
166||500||333 = 166500333
1666||5000||3333 = 166650003333 입니다.
1과 5사이에 6을 5와 3사이에 0을 마지막에 3을 같은 패턴으로 증식하면 각각의 값들이 그대로 계산된 결과값과 같습니다.
Armstrong's number 혹은 Narcisstic number 라고 부른다고 합니다. 증명은 위키에 나와있구요...
https://en.wikipedia.org/wiki/Narcissistic_number
이런 숫자들도 가능합니다.
1 || 5 || 3 = 153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
3 || 7 || 0 = 370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
3 || 7 || 1 = 371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
4 || 0 || 7 = 407 = 4^3 + 0^3 + 7^3
4 || 18 || 33 = 41833 = 4^3 + 18^3 + 33^3
22 || 18 || 59 = 221859 = 22^3 + 18^3 + 59^3
34 || 10 || 67 = 341067 = 34^3 + 10^3 + 67^3
44 || 46 || 64 = 444664 = 44^3 + 46^3 + 64^3
48 || 72 || 15 = 487215 = 48^3 + 72^3 + 15^3
98 || 28 || 27 = 982827 = 98^3 + 28^3 + 27^3
98 || 32 || 21 = 983221 = 98^3 + 32^3 + 21^3
저는 다른 시각으로 이걸 증명해야 한다고 생각해요. 10학년 문제니까요.
1. 처음 1||5||3 을 계산한다. -> 153 이나온다.
2. 뭔가 꺼림칙함을 느낀다. 왜 153이나오지? (이게 어렵습니다.)
3. 두번째 계산으로 확증을 찾아간다. 16^3 노가다 4096, 50^3 쉽게 125000, 33^3 노가다 35937 = 165033
4. 여기서 확증하는겁니다. 아하! 유레카 16//50//33 이 나오는거구나! 왜인지는 모름. 알필요없음. (요까지오면 수학잘하는겁니다!)
5. 다음부터는 그냥 안품. 문제낸 의도는 뻔함. 166650003333 이 답임.
끝 -> 이러면 10학년 문제
증명하려면 수학박사. 히고님 요구는 부당함! ㅋㅋㅋ
쵝오....!!!!
ㅋㅋ 굿굿! 부당 아녀요
문과도 푸는 문제를 무슨 수학 박사씩이나
봐요
좌변 1 =[ (10^n)-4 / 6 ]^3
좌변 2 =[ (10^n) / 2 ]^3
좌변 3 =[ (10^n)-1 / 3 ]^3
우변 1 =[ (10^n)-4 / 6 ]* 10^2n
우변 2 =[ (10^n) / 2 ] * 10^n
우변 3 =[ (10^n)-1 / 3 ]
좌우변 다 10^n 의 3차식이죠
계수 네개 각각 구하면 좌우 똑같아요
QED
근데 작가가 어떻게 저런 생각을 햇는가 직관이 없으니
노가다일 뿐
증명은 문과 고딩도 가능
저도 정정!
패턴을 수식화 하는 것은 문과 고딩도 가능
왜 이게 되는지 일반론적으로 풀고, 계수도 왜 그게나오는지 알아보고, 다른 건 어떤게 되는지 확인해 내고, 공리로 풀어내는건 업자들이 하는 것으로...
실제로 베이스를 다르게해서 어떻게 나오는지도 연구를 해놨네요 12진수 16진수에서 타우와 입실론을 써가면서 ㅋㅋㅋ
좀더 전문적인 증명은 여기에 있네요.. Stack Exchange ㅎㅎ
읽다 말았음...
https://math.stackexchange.com/questions/1646685/how-to-prove-this-curiosity-that-has-to-do-with-cubes-of-certain-numbers
체크마크 있는 증명은 히고님 증명 일반화시킨 것 같네요.
와우 감탄소리가 절로 나오넹..
혈자 아우님 최고네요..난 골쎄리는디요...
저도 x,y,z 로 치환해서 풀어보려다 시간 날리고, 수열로 증명해보려다 시간날리고,
더하기 해보다가 본 거 같아요...
과외하던 시절에 늘 아이들한테, 1. 큰수는 건드리지 말것, 2. 작은 계산은 해볼 것 이래놓고....하아... 증명이라니 ㅠㅠ
제목 뒤에 일련번호 좀 달아주세요. 지난 번 그 문제인 줄 알았더니 정확히 똑같은 제목으로 글이 3개나... 2번째 것도 오늘 처음 봐요.
식들이 다 a^3+(a+b+1)^3+b^3 모양으로 생겼는데 이걸로 일반화 할수 있지 않을까요?
이런거 안해본지 오래되서 그런지 머리아프네요 ㅠㅠ
모든 a,b,c에 대해 다 성립하는게 아니라 16...6, 50...0, 33...3 이렇게 생긴 특수한 경우에만 성립하는거라 이렇게는 안 될 것 같아요.
브금 들어갑니다.
오늘은 이 재미있는 수학퀴즈를 못 봤네요...근데 이게 왜 10학년 문제인가요? 저거 고등학교 레벨로 증명이 가능한가요? 라고 물어봤는데 위의 stackexchange를 보니 1.66*1 0^n= 1/6*10^n, 5.00*10^n = 1/2*10^n, 3.33*10^n = 1/3*10^n으로 만드는게 핵심이네요. 3승이라서 expand하고 정리하면 규칙이 나오겠네요 ㅎㅎ 충분히 10~12학년이 풀 수 있긴 할거 같으네요 (엄밀히는 1/6+1/3 = 1/2가 되는걸 이용하는 거겠죠. 1.666666... + 3.333333... = 4.999999... = 5가 될테니까요)
머리에 마구니가 끼었습니다 보다가
예전에 어디선가 봤던 문제네요...(증명은 기억 안납니다..ㅋ)
댓글 [41]