한 3주전 적콩무를 소개하시는 글 (https://www.milemoa.com/bbs/board/6448816)에서 몬티홀에 관해 이런저런 얘기가 오갔었습니다.
그에 힘입어(?) 다른 문제 하나를 낼까 합니다. 쌍둥이, 동명이인없이 생각해주시기 바랍니다.
1. 방금 만난 홍길동씨에게 자녀가 있냐고 물었더니 2명이 있다고 답했습니다. 홍길동씨에게 딸이 2명일 확률은?
2. 위 홍길동씨에게 딸이 있냐고 물었더니 있다고 답했습니다. 홍길동씨에게 딸이 2명일 확률은?
3. 홍길동씨에게 큰아이가 딸이냐고 물었더니 그렇다고 답했습니다. 딸이 2명일 확률은?
4. 영희라는 이름을 가진 딸이 있냐고 물었더니 그렇다고 답했습니다. 딸이 2명일 확률은?
5. 화요일에 태어난 딸이 있냐고 물었더니 그렇다고 답했습니다. 딸이 2명일 확률은?
6. 방금 만난 홍길동씨와 얘기하던 도중 자식이 2명이있고 딸이 있다고 말해주었다. 홍길동씨에게 딸이 2명일 확률은?
2~6번이 다 같아보이나요?
적어도 2번과 6번은 같아보이나요?
정답
1. 1/4
자녀2명을 둔 사람이 10000명있다고 가정을합시다.
그중 2500명은 아들 2명, 5000명은 아들1딸1, 2500명은 딸 2명. 2500/10000 = 1/4
2. 1/3
딸이 있다고 대답할경우는 아들1딸1 5000명, 딸2 2500명. 2500/7500 = 1/3
3. 1/2
큰아이가 딸일 경우는 딸/아들 2500명, 딸/딸 2500명. 2500/5000 = 1/2
4. 1/2
영희란 이름이 1/50이라고 가정을 하면 아들1딸1 5000명중 100명이 영희란 딸이 있고 딸2 2500명중 큰딸 영희 50명, 작은딸 영희 50명이라서 총 100명. 100/200 = 1/2
5. 13/27
딸월/아들, 딸화/아들, 딸수/아들... 7가지, 아들/딸월, 아들/딸화... 7가지, 딸월/딸화, 딸화/딸화, 딸수/딸화... 7가지, 딸화/딸월, 딸화/딸화, 딸화/딸수... 7가지, 딸화/딸화 중복으로 27가지 경우중 딸이 2명이 13가지 -> 13/27
6. 1/2
10000명을 한명씩 돌아가면서 얘기를 해봅시다. 아들2 2500명은 아들이 있다고 말할것이므로 제외. 아들1딸1 5000명중 절반이 아들이 있다고 나머지 절반이 딸이 있다고 말할것이기에 2500명. 딸2은 딸이 있다고 말해서 2500명. 2500/5000 = 1/2
여기서 함정은 남자아이가 태어날 확률은 53/103으로 여아보다 높습니다. 흔히 1/2로 계산하는데 다시 계산해야 해요 ㅎㅎ 뭐 정확도가 낮아도 되는 경우라면 괜찮습니다. 51.5 대 48.5 수준이라서요.
저는 4,5,6번이 헷갈리네요...
5번 6번은 잘 이해가 안되네요. 계산 틀린거 아닙니꽈?? ㅋㅋㅋ
다른 건 이해됐는데 6번은 모르겠네요...
딸이 있냐고 물었느냐
아니면 딸이 있다고 말했느냐의 차이입니다.
asked or volunteered
이거 전에 어디선가 본거 같은데, 독립시행과 독립시행이 아니게 되는 (조건부 확률이 변하는) 일종의 말장난? (조건)으로 헷갈리게 하는 문제류 였던거 같네요.
1. 아들/딸, 딸/아들, 아들/아들, 딸/딸 - 고로 1/4 확률
2. 딸이 있다고 했으니, 아들/아들 제외하면 딸/딸은 1/3 확률
3. 큰 딸이라 했으니, 딸/아들, 딸/딸만 가능 고로 1/2 확률
4. 영희가 큰딸이든 작은 딸이든 영희+아들, 영희+딸의 경우만 존재 고로 1/2 확률 (아들/영희, 영희/아들, 딸/영희, 영희/딸 조합)
5. 이건 답 보고 껴 맞춘건데... 성별 경우*요일 대한 모든 경우는 14가지. 화요일 딸의 경우는, (전체 성별/요일 경우를 고려한 2명 조합) - (화요일 딸 경우를 제외한 2명 조합) = 14*14 - 13*13 =27임. 이 27가지중 나머지 아무 요일의 딸의 갯수를 세보면 13가지임. (e.g., 화요딸/월요딸, 화요딸/화요딸, 화요딸/일요딸... 월요딸/화요딸...일요딸/화요딸) 이런식으로 큰딸을 화요 딸로 고정하고 7가지, 작은 딸도 7가지, 중복 1가지 이므로 13가지..고로 13/27.
6. 이것도 헷갈려서...답으로 껴 맞춘, 가능한 경우만 생각해보면 딸/아들 아들/딸, 딸/딸로 생각하면 1/3이지만, 이미 낳은 딸이 있다고 고정 되있으므로 (4번처럼) 홍길동이 말한딸/모르는딸, 말한딸/모르는아들, 모르는딸/말한딸, 모르는아들/말한딸 이렇게 보면 1/2이 되네요.
ㅠㅠ 어렵네요, 2번이랑 6번의 경우 비슷한거 같은데, 2번의 경우는 내가 정한 임의의 딸인거고, 6번의 경우는 홍길동이 정한 지정된 딸인 머 그런건가요?
6번 같은경우 정보가 어떻게 전해지느냐에 따라 확률이 변한다고 보면 됩니다. 몬티홀의 예를들면 사회자가 모든걸 알고 문을 열기때문에 바꾸는게 이득이고 만약 사회자가 아무런 정보없이 무작위로 연다고 하면 바꾸나 마나인거죠. 그와 마찬가지로 내가 홍길동에게 물어서 딸이 있다는걸 만드느냐 아니면 무작위로 질문없이 홍길동이 딸이 있다고 말하느냐에 따라 경우의 수가 달라지는겁니다.
5번 당했네요~ ㅎㅎ
이과망했으면
2번부터 망했... 이생망...
적콩무 열심히 들었는데 모르겠어요... 좋아지려던 수학이 다시 미워질라해요...ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋ 어려워요 2번부터 틀림.... 한국말이 어려운거 같아요.....
우앙. 처음에 댓글 0일때 봤을땐 읭? 머징? 했는데, 해설을 보니까 좀 알겠네요 ㅋㅋㅋㅋ
6번 설명을 보고 이해 했지만, 문제에 한 가지 가정이 빠져 있네요.
설명과 같이 계산하려면,
홍길동씨는 1)아들이 있다고 말하거나 2)딸이 있다고 반드시 말해야만 하는 가정이 있습니다.
딸도 있고 아들도 있다고 말할 경우라던지, 딸/아들 유무를 말하지 않을 경우 등은 고려되지 않고 있으니까요...
문제에 가정이라던지 정보량이 불충분했다고 봅니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox
위키 설명도 다 읽어봤는데, 저한테는 몬티홀이랑은 달리 그냥 말장난처럼 느껴지네요. ㅎㅎ
이게 답이 1/2가 되려면 문제를 아래와 같이 바꿔야할 것 같아요.
"방금 만난 홍길동씨와 얘기하던 도중 자식이 2명이있고 (홍길동씨가 무작위로 자식 둘 중 하나를 머리에 떠올렸을 때 그 아이가 아들이었으면 아들이 있다고 말할 예정이었고, 그 아이가 딸이었으면 딸이었다고 말할 예정이었는데, ) 딸이 있다고 말해주었다. 홍길동씨에게 딸이 2명일 확률은?"
그게 아니면 그냥 1/3이 맞다고 생각합니다.
좀 말장난스러운 문제인데.. Conditional probability로 보냐 independent events로 보냐에 따라서 달라지는거 같은데 Conditional으로 보려면 문제를 좀더 명확하게 써야 Conditional probability라고 주장할수 있지 않을까요
예를 들면 5. 2번질문에 화요일에 태어난 딸이 있다고 답했습니다. 딸이 2명일 확률은? 문제 같은 경우는 -> 자녀에 대해 물어본 사람들 중에서 화요일에 태어난 딸이 있다고 말한 사람들 중 그들의 딸이 2명일 확률은?
그게 아니라면 원문 문제같은 경우는 independent event라 1/2 이라고 우길수 있을거 같습니다. 아무렇게나 random하게 사람을 잡고 물어봤는데 화요일에 태어난 딸이 있다라고 대답했다 (screening process에 관여하지 않은 요소), 그중에 두번째 자녀도 딸일 확률 (1/2). 밑에 분모 (denominator)는 화요일에 태어난 딸이 있는 사람들만 포함하는게 아니라 모든 사람들을 다 포함해야죠. 무제한으로 아무사람이나 잡고 물어본 케이스니까. 처음부터 홍길동씨가 화요일에 태어난 딸이 있다는걸 알고 물어본게 아니니까요 (sample로 채택한것).
문제를 다시 읽어보니 다시 써야하긴 할것같네요.
무작위의 자녀2명이 있는 홍길동씨에게 화요일에 태어난 딸이 있느냐라는 질문을 했을때 있다고 대답을 했다는 식으로 바꿔야하지 않을까 생각되네요. 그냥 딸이 있느냐는 질문에 화요일에 태어난 딸이 있다고 대답할경우는 1/2이 맞는것 같습니다.
자식2명이 있는 부모들이 모여있는 자리에서 화요일에 태어난 딸이 있는사람만 손들어보세요 하고나서 그중 무작위로 한사람을 골랐을때 그사람이 딸2명일 확률은 13/27이겠죠.
네 이게 정확 한것 같습니다. 어찌보면 6번에 이슈랑도 연결된 것 같은데요. 2번에 딸이 있느냐 하는 질문에 딸이 있다고 대답한 경우와 자발적으로 딸이 있다고 대답한 것을 다르게 해석 할수 있듯이 화요일에 태어난 딸이 있습니까 물어서 대답한 것과 자발적으로 화요일에 태어난 딸이 있다고 대답한 것은 다르게 해석 될 수 있는 것 같네요.
웃긴건 저는 5번에 대해서는 딸이 있느냐는 질문에 홍길동이 별 의미없이 화요일을 붙인것으로 생각해서 답이 1/2라고 생각했고 6번에 대해서는 마치 딸이 있느냐고 물어봐서 대답한 거랑 똑같다고 생각해서 1/3이라고 생각했습니다. 이런걸 보면 인간의 사고 방식이라는 것이 익숙 한것과 익숙하지 않은 것 또한 복잡한 것과 복잡하지 않은 것에 대해서 다르게 접근하고 있다는 생각이 듭니다.
+1 저도 5번 보고 1/2이라 생각했어요. 문제를 바꿔야 할듯요.
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