시설 격리가 아닌 자가 격리를 위해 필요한 서류는 여기 공식 사이트에 잘 정리가 되어 있는 것 같습니다.

https://overseas.mofa.go.kr/es-ko/brd/m_8114/view.do?seq=1346036&srchFr=&srchTo=&srchWord=&srchTp=&multi_itm_seq=0&itm_seq_1=0&itm_seq_2=0&company_cd=&company_nm=&page=4

제가 알기로는 일단 어머니와 사촌들 간의 가족 관계를 증명할수 있는 가족관계서 가 있어야 하구요, 부부가 같이 올 경우 한쪽의 가족관게서만 있으면 부부를 입증할 결혼증명서고 필요 합니다.

압국심사 할때 뭔가에 걸려서 무사통과가 안되면 빨간 카드 목걸아를 걸고 일층애 특별관리 데스크 로 가개 되는데 거기서 하시는 말이 원래 에어엔비는 원칙적으론 안된다고 하셔서 좀 의아했습니다. 분명 몇주전애 어는 가족이 서울에 있는 에어엔비에서 자갸격리 했거든요..  그런데 어쨋든 주소지, 가족확인 하는 과정에서 특별히 그 가족이 그 주소지에 있는지는 확인 안 하더리구요.  그러니 에어엔비에 머물러도 그냥 가족집이라 하면 되는건지...

여기 참조하세요.

http://overseas.mofa.go.kr/us-atlanta-ko/brd/m_22310/view.do?seq=21

(시설격리자의 자가격리 전환 자격요건 완화) 단기체류 자격을 가진 무증상 외국인이 내국인 또는 장기체류자격 외국인과 가족관계가 확인되고, 자가격리가 가능한 거소가 확보된 경우 예외적으로 시설격리 → 자가격리로 전환 가능. 단, 자가격리 대상자는 14일 격리기간이 끝날 때까지 해외 출국이 불가능함.
▲ 세부내용
  o (전환요건) 국내 거소 중인 내국인 또는 장기체류자격 외국인이 시설격리 대상자(이하 ”본인“)와 아래의 가족관계인 경우에 한함
    ① 본인의 배우자
    ② 본인 또는 배우자의 직계 존·비속(직계 존·비속의 배우자도 포함)
    ③ 본인의 3촌 이내의 혈족
  o  (인정절차) 가족관계 증명서 등 공적서류를* 통해 가족관계 확인(제출 불요) → 자가격리 대상으로 분류
  * 한국인 배우자와 외국에서 혼인신고를 하였으나 국내에서는 혼인신고를 하지 않은 경우 그 혼인관계와 혈족관계 증명은 외국정부 결혼‧혈족입증 발행서류 및 아포스티유 확인서(국가별로 권한기관 지정‧발급) 제출 필요

한국에 사촌분들이 본인 기준 사촌이면(=어머님 기준 3촌관계) 가능하실거 같고, 어머님 기준이면 불가능 할 거 같네요.