朝聞道 夕死可矣 - 오늘 들은 道, algebraic number

오늘은 보령약국

 

이런게 잇더라구요 

다항식에서 게수가 모두 정수에요 

그것의 해가 되는 집합은?

그럼 복소수까지 나오죠 

x2 + x + 1 =0 는 근이 -1/2 +-sqrt(3)/2*i 니까 

x2=-1 하면 해가 x=+-i 니까 

해가 되는 집합을 A=set of algebraic numbers 라고 한다구요 

처음 들은 말 

근데 A 가 실수는 아니래요 

즉 실수면서 정수 게수 다항식의 해가 안 되는 수가 잇다네요, 이게 초월수라고, 가령 원주율 파이, 오 신기 

원주율 너는 정체가 뭐니?

 

질문: 그렇담 A 는 곱셈과 덧셈에 대해서 닫혀 잇느냐?

즉, a b 가 다항식의 해라면 a+b, a*b 도 어떤 정수 게수 다항식의 해가 되겟느냐?

 

이게 2차식에서는 되드라구요 

즉 a1, a2 가 한 2차식의 해, b1, b2 가 다른 2차식의 해, 

그럼 a1+b1, a1+b2, a2+b1, a2+b2 를 해로 갖는 4차식을 만들수가 잇는데 

이 4차식의 게수는 다 정수!

마찬가지로 곱셈도 되구요 

 

2 차식에서 되는 과정을 보면, 근과 게수와의 관게가 나오는데, 

그래서 텀을 다 곱해서 전개하면 이쁘게 게수가 다 정수가 나와요,  

그럼 고차식에서도 다 되겟지 싶기는 한데 ...

여기서 질문: 일반의 고차식에서도 algebraic number 가 덧셈과 곱셈에 대해 closed 라는 건 어떻게 보이나요?

해석학으로 넘어가야 할 것 같은 느낌이 ...

 

여기까지가 10학년 문제 

 

신기해서 읽어 보니, 가우스, 갈루아, 아벨 같은 18세기 사람들 얘기가 나오더라구요 

역시 수학은 200 년 안쪽은 너무 어려워 

200-100년 사이는 문제는 알겟는데 답은 너무 어렵고 

100년 안쪽은 문제도 모르겟고, 

문제를 알고 답은 모르면 괴로운데 

문제도 모르면 마음은 고요, 내 마음은 호오수요 

 

실게수 방정식은 1차 또는 2차의 실게수 방정식으로 인수분해 된다구요 

4차식이면 반다시 적어도 두개의 2차식으로 분해됨 ! 

신기하죠, 2차식은 일반적으로 1차식 두개의 실수 텀으로 분리가 안 되잖아요 

가령 

x2+1 = (x+i)(x-i) 

그럼 2차식이 두개의 1차식으로 분리가 안된다면

4차식이 반다시 2개의 2차식으로 분리가 된다는 법이 어딧노 

해봐 해봐!

어느 용자가 4차식이 두개의 실수 2차식으로 쪼개진다는 걸 보여봣자 

- 사실 4차식의 일반해는 16세기에 나오니 이건 이미 보인거고  

그래 그럼 100 차식이 50개의 2차식으로 쪼개진다는 걸 해봐 해봐! 

하면 도로아미타불 

 

이걸 보이는 방법은 다음과 같은데 

1. 실게수의 다항식은 적어도 하나의 복소수 해를 갖는다 

2. 그 해가 실수라면 한 텀을 줄이고, 그 해가 허수라면 켤레수도 - conjugate - 해가 된다 

3. 허수와 그 켤레수를 합하면 2차 실수식으로 떨어진다 

4. 고로 임의의 고차 방정식은 많아야 2차식으로 다 쪼개진다 

이런 식 

 

위에서 2 3 4 는 쉽고 1이 어려운데 이게 1800 년 전후로 당대의 수학자들의 놀이엿다구요 

오일러, 가우스, 코시, 르장드르, 아벨, 갈루와 ... 

앗사, 유명한 사람들 다 나온다 

 

가우스 박사 논문이 1을 증명하는 건데 

그 전에 증명햇던 르장드르며 코시 증명을 깟다구요 

니들 다 틀려, 니네 증명하는데 이런 정리 썻는데 그 정리가 이미 에라, 여기 반례!

애송이 박사학생이 당대의 대가들을 까고도 살아남다니 부러운 학풍

근데 가우스의 논문도 맞는건 아닌게 

실제 증명은 복소 해석학이 발달한 후에 나왓다고요 

 

이런식 

1. 복소 평면에서 이쁘게 정의된 함수가 잇다 

2. 이 함수가 하나의 복소해도 없다고 치자 

3. 그렇담 이 함수는 어떤 양수가 잇어서 그보다 크고, 그 1/그함수는 bounded 다

4. 그렇담 루이빌의 정리에 의해 전구간에서 bounded 인 복소함수는 그냥 상수다 

(아 ㅅㅂ 루이빌의 정리를 또 찾아 봐야 하나) 

5. 고로 복소해가 적어도 하나는 존재한다 

6. 5 로 차수를 하나 줄이고 처음으로 도돌이 

결론: n 차 복소 다항식은 n 개의 해를 갖는다 

따름 결론: n차 실수 다항식은 2차 실수항으로 다 쪼개진다 

귀류법에 의한 증명인데 허무하죠 

뭔가 뒷맛이 안 개운 

 

가령 히든고수가 남자임을 보여라 

직접증명법: 거기 사진을 찍어 올려서 인증한다. QED

귀류법: 남자가 아니라고 하자, 그렇담 게시판에 이런 낙서를 할리가 없다, 고로 모순, 고로 남자다 이런식 

반박은 못하겟는데 속는 느낌 

 

복소수는 문과에서 2차 방정식 풀때 배우기는 햇는데, 

그냥 받아들이기 힘들죠

아니 왜 답이 없는데 잇다고 치고 이상한 기호 i 를 만들지?

근데 이런 저항이 뉴튼, 라이프니츠 같은 당대의 수학자들도 잇엇다구요 

아 왜 그런걸 해, 이상한 짓 하지마!

 

16세기 3차 방정식 일반해 풀때 복소수가 나오는데 그 해결자가 복소수를 쓰되 

 

카르다노: 그다지 큰 양심의 가책을 느낄 필요가 없다. 산술이란 이처럼 오묘하게 풀어나가야 한다.

산술의 목표는 성현이 말하듯 정밀하며 반드시 유용하지만은 않다

 

라이프니츠: 성령께서 분석을 하는 과정에 범속을 초월한 계시를 보여 주셨다.

그것은 바로 저 이상세계의 전조다.

존재와 존재하지 않음 사이에 나타난 양쪽 모두에 걸쳐 있는 무언가,

우리는 이를 허구의 -1제곱근이라 부른다

(이놈들아, 뭐 하는 짓이냐!) 

 

이과들의 이런 문과 발언을, 문과들은 좋아합니다 

하하, 니들도 별수 없구나!

 

나는 위대하다,

왜냐하면 카르다노, 라이프니츠같은 사람들이 허수를 보고 뭐하는 짓이냐! 햇는데 나도 이놈들아 뭐하는 짓이냐!  

그 사람들이 위대하니 고로 나도 위대하다 

great minds think alike!

 

이 말이 도움이 되데요.

옛날에 음수를 보고 사람들이 저항을 햇는데, - 를 붙인다는 것 (-1 을 곱한다는 건) 양의 세상에 대칭되는 음의 세상이 잇다고 놓고,

양의 숫자를 반대편으로 던지는 것, 두번 던지면 (-1*-1) 다시 양의 세상으로 돌아오는데 이러면 편하다 

마찬가지로 i 란 -1 처럼 아예 반대편으로 (=180도) 던지는게 아니라 90도 만큼 비틀어 던지는 것, 즉 i 를 두번 곱하면 -1 이 되는것 

오 말되네, 그렇게 생각하니, 문과도 끄덕끄덕 

문과가 이런 비유를 좋아합니다

 

갈루와는 5차 이상의 다항식은 일반해가 없다는 걸 증명한 사람이라는데 이 사람 웃겨요 

집이 유복해서 사립학교를 다녓는데 -그러다 망하지만 - 수학에 꽃혀서 다른 건 안하고 수학만 햇다구요

고딩 주제에 당대의 수학자들에게 편지질 

학교 학생들 선생들 개무식하다고 개무시해서 왕따, 내신 꼴등급

에콜 폴리테크닉 (한국으로 치면 서울대 또는 카이스트) 가서 얼른 수학해야지 햇는데 불합격, 

재수햇는데 또 불합격, @대박마 데자부 

근데 학교가 삼수생은 안 받아줘서 에콜 노르마에 갓다고 

미국 귀화 시험도 삼수는 안 됩니다 재수까지만 

 

불합격한 이유는 면접에서 시험관으로 들어온 교수한테 무식하다고 칠판 지우개를 던져서 ㅋㅋ 

가령 

수학과 계승혁: 자 학생, 이런 문제가 잇는데, 풀어 봐, 고딩때 근과 게수와의 관계 배웟지? 그게 힌트야 

갈루와: 이봐요, 그런 건 무식한 고딩이나 하는 거구요,

그런 거 다 필요없이 우리가 그룹과 필드가 잇다고 하면, 그 안에 중간되는 그룹과 필드가 존재하는데,

그럼 그 그룹과 필드에선 이런 성질이 존재하거든요,

근데 이 그룹과 필드는 고차 방정식의 해와 매핑이 되기 때문에, 당신이 말씀한 거는 그냥 자명한 거여요 

계승혁: 아니 학생, 내가 낸 문제를 이해 못하는 거 같은데,

좀 아무 말이나 하지 말고, 좀 찬찬히 생각해 봐, 근과 게수의 관게를 이용하면 풀린다니까! 

갈루와: 아, 말 이해 못하는 건 내가 아니고 당신 이구요,

진짜 자명한걸 왜 자꾸 보이래요, 서울대 교수가 뭐 이래! 당신 와이프 빽으로 교수 됏지? 

계승혁: 아니 이놈이!

갈루와: 아니 이 양반이! (칠판 지우개를 던진다, 이마에 맞는다) 

계승혁: 아이쿠, 너 불합격!

 

그래서 3수, 아이고, 학교 가서도 운동권 (그때 프랑스 혁명하던 시절) 

논문 써서 코시, 가우스 등등한테 보냇는데, 듣도 보도 못한 말들이고, 읽기도 지겹고, 내 수업 하느라 바쁘기도 하고, 내 논문도 써야 하고,

게다가 고졸이 쓴 논문인데 보나 마나지 하고 안 읽고 쳐박아 두고 

내 나이가 얼만데 십대의 개발새발 에세이를 읽으랴 ㅋㅋㅋ 

그 입장에서 보면 너무도 당연 ㅋㅋ

그렇게 살다가 갈루와 선생 20살에 돌아가심 아이고 

 

이것이 이과의 운명 

 

朝聞道 夕死可矣

조문도 석사가의는 그냥 허세 

도가 뭐길래 죽어도 좋다고 

이말의 속뜻: 도란 없다, ㅋㅋ 고로 나는 안 죽는다