무보험자와 차사고가 났습니다. 조언 부탁드려요.

안녕하세요, 요 밑에 차사고 관련 글을 보고 이 게시판이 아마도 제일 도움되는 조언을 얻을 수 있지 않을까 생각 들어 질문드립니다.

저도 얼마 전에 차 사고가 났는데요. 쇼핑몰 안의 인터섹션에서 상대방은 좌회전하고 조금 직진, 저는 우회전을 하다가 제가 상대방의 뒷 범퍼를 박았습니다. 제가 우회전하기 전에 진입하려는 도로에 차가 없는 것을 확인하고 천천히 들어갔는데 그새 상대방이 제 살짝 왼쪽에서 좌회전을 한 후 차를 엄청 빠르게 몰아서 제가 뒤에서 박은 경우가 되었습니다. 이건 증언해줄 목격자가 없으니, 우회전하는 차량에 우선권이 있어도 상대방은 이미 도로에 진입한 차가 우선권이 있다고 주장할 것이고 해서, 보험 분쟁으로 가면 뒤에서 박은 제 과실이 큰 것으로 나오지 않을까 싶습니다.

아무튼, 제 차는 앞 범퍼가 다 떨어져 나갔고 (수리비 4천불) 상대방은 뒷 범퍼에 스크래치만 좀 있고 괜찮습니다. 사람은 안 다쳤구요.

경찰을 불러 운전자와 보험 정보를 교환하고 나서 헤어졌고 (경찰이 사람이 안 다쳤다고 리포트는 안 만들어 주더라구요),  저는 제 보험회사와 (라이어빌리티만 있음. 무보험자 커버리지 없음) 상대방 보험회사에 전화를 걸어 클레임을 걸었습니다.

그런데 며칠 뒤 상대측 보험회사에서 상대방이 보험이 없다고 연락이 왔습니다. 사고시에 날짜가 유효한 보험증을 보여줬고 사진까지 찍었는데, 이게 보험 리뉴전에 보험증만 받고 페이을 안 했거나 캔슬을 해서 사고 당시에는 보험이 없는 상황이더라구요. 저는 사고 당시에 너무 상대측이 당당하게 나와서 보험증이 유효하지 않을 가능성을 생각지도 못했었습니다. 정황상 상대측은 자신이 보험이 없는 것을 알고 있었을 것으로 보입니다. 

이런 상황헤서 제가 할 수 있는 일이 있을까요? 밑의 글에서 자신의 과실이 큰 경우에도 상대방이 보험이 없는 경우는 반대로 판정날 수도 있다는 답글을 보았는데요. 제 보험회사에서는 신경을 안 쓸 것이 확실한 이 상황에서 (제 차 수리비를 내줄 의무가 없으니까요), 개인적으로 상대측과 연락하는 것 말고 제가 취할 수 있는 액션이 있는지 궁금합니다. 보험이 없는 차량을 운전하는 것이 불법으로 알고 있는데, 상대측 보험회사에 혹시 그 사람을 리포트할 의무나 계획이 있냐고 하니 자기들은 아무 것도 하지 않을 것이라 합니다.