올림피아드 삼관왕에 빛나는 @얼마예요 도 틀린 문제입니다!
자자, 크레딧 카드 야바위 게임을 하는겁니다.
상자가 세개가 있는데,
상자 하나는 사파이어 리저브 평생 연회비 무료 524 면제
나머지 상자 두개는 월마트 스토어 카드 + 콜라 한병 보너스
당신이 상자하나는 고릅니다. 상자 1이라고 하죠.
상자 내용을 잘알고 있는 야바위꾼이 다른 상자 하나를 열어서 월맛카드가 들어있는걸 확인해줍니다. (상자 3이라고 가정하죠.)
야바위꾼 왈 “원래 선택을 유지하겠습니까? 아니면 상자 2로 바꾸겠습니까?”
선택하신 초이스의 승리 확률, 얼마예요?
당연히 인터넷 검색 금지.
베이지언 로직 사용 금지.
직접 상자 세개 실험 안금지.
상자 1 이요
안바꾸는게 더 이득 아닌가요
정확한 넘버를 이야기 해야하는거라면
그런건 잘 모르겠습니다
1/3*1/2 처음에 리저브를 골랐을 때 월맛 하나를 보여주고 바꾸지 않을 확률
+2/3*1/2 처음에 월맛을 골랐을 때, 다른 월맛 하나를 보여줬을 때 선택을 바꿀 확률
=1/2=50%
그러거나 말거나다
처음 확률은 1/3
하나 제거하고 확률은 1/2
바꿔서 손해도 이익도 아니다
아니다 바꾼다 !
안 바꾸면 1/3
제거하고 랜덤으로 골르면 1/2
즉 바꾸면 2/3 다
바꾼다가 답이였던거 같은데 아직도 이해가 안됩니다.
독립시행을 예로 들면.... 애들 두명 낳을때 둘다 아들이 확률은 1/4이지만 첫째가 아들인 다음 둘째가 아들일 확률은 1/2이거던요.
그래서 아무리 생각해도 확률은 1/2일꺼 같은데....
히고님 방식이라고 하더군요. 이해가 안돼요.
이렇게요
1 2 3
1은 존거 2 3 은 꽝
그냥 처음거 하면 1/3
바꾸면
1 잡고 바꾸면 꽝
2 잡고 바꾸면 존거
3 잡고 바꾸면 존거
즉 2/3 로 존거
약간 진지빨고 글 써 봅니다. 아래에도 댓글을 달았지만 히고님 방식이 정답이 될 수 없는 이유는 다음과 같습니다.
문제를 다시 표현하자면,
표본공간은 서로 소인 A, B, C의 분할로 구성되어 있고
A=리저브 뽑는사상, B=월마트1을 뽑는 사상, C=월마트 2를 뽑는사상
이 상황에서 질문은 WLOG, P(A|A union B)=P(A)/P(A union B)를 묻고 있습니다. 물론 답은 1/2이죠.
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반면 히고님의 대답은 전혀 다른 사상들을 도입하고 계시네요. 바꾸는 행위자체를 별개의 사상으로(좀 납득이 안갑니다만) 도입한 상황에서
D = (A intersection 바꾸기)
E = (B intersection 바꾸기)
F = (C intersection 바꾸기)
E union F=좋은것
여기에 히고님은 D, E, F가 서로 소이고 표본공간을 분할하고 있다는 암묵적인 가정을 사용하고 계시지만, D, E, F가 각각 A, B, C의 부분집합이므로 당연히 분할이 아닙니다.
억지로 이런 식으로 본다고 해도 D union E는 "상황이 나아질 여지가 있는 사상"이지 문제에서 질문하는 것과는 전혀 다른 맥락이구요.
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개그를 다큐로 받아들였다면 죄송합니다.
@두라돌 P(A)/P(A union B)은 야바위꾼이 월맛카드 상자를 열어준 후에 다시 눈을 가리고 나머지 두개의 상자중 하나를 랜덤하게 고를 때 리저브를 고를 확률입니다.
문제에서 주어진 상황은 야바위꾼이 다른 상자 하나를 열어서 우리에게 추가적인 정보를 주었고, 우리는 그 정보를 이용한 기회를 얻은 상황이기에 선택을 유지할지 바꿀지는 더 세심한 고찰이 필요합니다.
히고님이 설명하신대로 바꾸는 선택이 2/3의 확률로 리저브를 얻게되어 바꾸는 것이 유리합니다.(이는 유명한 monty hall 문제이고, 얼핏보면 직관적이지 않은 이 현상을 설명하는 방법은 적어도 3가지 이상 존재합니다. 정말 믿을 수 없다 생각하신다면, 문제의 세팅으로 실제로 선택을 바꾸는 전략을 유지하였을 때 실험을 해보시면 약 2/3의 확률로 리저브를 선택함을 확인하실 수 있을 겁니다. 실제로 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 실험한 결과도 2/3로 수렴합니다.)
하지만 두라돌님이 히고님의 설명에 지적하신 표본공간의 정의가 모호하다! 라는 포인트는 아주 좋은 지적이기에 답글을 남깁니다. 이 지적에 대한 저의 답은 "표본공간을 잘 세팅하면 됩니다" 입니다.
1)먼저 야바위꾼이 월마트 상자를 열어주었을 때, 선택을 바꾸지 않는 전략을 사용한다면 얼마의 확률로 리저브 카드를 얻게 될지 계산해봅시다.
상자 1, 2, 3 이 있다고 가정합니다.
표본공간을 다음과 같이 정의합니다. {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
각 원소의 의미는 예를 들어 (1,2)는 리저브 카드가 상자 1에 들어 있을 때 내가 2번 상자를 선택하는 경우를 뜻합니다.
이 표본공간은 모든 발생가능한 결과(outcome)들을 포함하고 있고, 각 결과가 발생활 확률은 모두 같습니다(equally likely).
이 때 저는 야바위꾼이 월마트 상자를 열어주었음에도 선택을 바꾸지 않을 것이기 때문에,
리저브 카드를 얻게되는 사건에 해당되는 원소들은 (1,1), (2,2), (3,3) 총 3개임을 알 수 있고, 이 사건에 해당되는 확률 구하게 되면 (사건에 해당되는 원소개수)/(표본공간의 원소 개수)=3/9=1/3 이 됩니다. 즉, 선택을 바꾸지 않을 때에는 1/3의 확률로 리저브 카드를 얻게 됩니다.
2)이제 야바위꾼이 월마트 상자를 열어주었을 때, 선택을 바꾸는 전략을 사용한다면 얼마의 확률로 리저브 카드를 얻게 될지 계산해봅시다.
상자 1, 2, 3 이 있다고 가정합니다.
표본공간을 다음과 같이 정의합니다. {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
각 원소의 의미는 예를 들어 (1,2)는 리저브 카드가 상자 1에 들어 있을 때 내가 2번 상자를 선택하는 경우를 뜻합니다.
이 때 야바위 꾼이 월마트 상자를 열어주었을 때 선택을 바꿀 것이기 때문에,
리저브 카드를 얻게되는 사건에 해당되는 원소들은 (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2) 총 6개입니다. (이 부분이 헷갈릴 수 있어 부연설명을 하자면 (1,2)의 경우는 리저브 카드가 상자 1에 있었고 제 선택은 상자 2 인 경우인데, 이때 야바위꾼이 월마트 상자가 들어있는 상자3을 열어줄 것이고, 이때 저는 선택을 바꾸는 전략을 취하기로 했었기 때문에 상자 1로 선택을 바꾸어 결과적으로 리저브 카드를 얻게 되는 것입니다.)
따라서 리저브 카드를 얻게되는 사건의 확률은 (사건에 해당되는 원소개수)/(표본공간의 원소 개수)=6/9=2/3 입니다.
결론 : 1번 전략은 1/3의 확률로 리저브를 얻고, 2번 전략은 2/3의 확률로 리저브를 얻기 때문에 우리는 2번 전략, 즉 선택을 바꾸는 전략을 취해야 합니다. 두라돌님은 표본공간을 올바르게 정의하지 않았기 때문에 히고님의 설명이 틀리다 하셨는데, 그 부분은 위의 설명처럼 표본공간을 생각할 경우 해결되는 것을 알 수 있습니다.
역시 다 세보는게 제일 좋은듯요 댓글 감사합니다
동의하지 않습니다.
표본공간을 MmMm님 말씀처럼 정의한다는 전제 하에서 MmMm님의 설명에 동의합니다만
MmMm은 야바위꾼이 자신이 어느 상자에 리저브 카드를 넣게 될지 모르는 상황을 가정하고 있으므로 일반적인 야바위꾼은 아닌 셈이 됩니다. 야바위꾼은 자신이 어느 상자에 뭘 넣을지 알고 있으며 게임 참가자는 그것을 모르는 상황에서 게임에 임하는 것이니까요.
따라서 MmMm님처럼 표본공간으르 정의한다고 해도 야바위꾼이 자신이 어디에 리저브카드를 넣었는지 안다는 전제하에서는 다시 조건부확률을 계산해야 하고 이 경우 아마도 답은 여전히 1/2이 될겁니다.
MmMm님의 풀이과정에는 동의하나, "일반적으로" 야바위꾼과 게임참가자의 정보가 대칭적이지 않기 때문에 MmMm님의 표본공간설정에는 공감하기 힘들군요.
이 부분에서 문제 해석이 갈린듯 하네요! 제가 해석한 내용은 "야바위꾼은 나의 선택이 리저브 카드이든 월마트 카드이든 상관없이 항상 다른 월마트 상자를 열어 보여준다" 였습니다. 그 상황에서는 야바위꾼을 경기자가라고 볼 수 없겠죠. 그리고 위에서 계산한 "선택을 바꾼다" 와 "선택을 바꾸지 않는다" 의 전략들에 해당하는 리저브카드를 얻을 확률은 이 전제 하에서만 맞는 확률입니다.
저는 문제에 쓰여진 문구만으로 이렇게 해석할 것이라고 생각하였는데, 오해의 소지가 있는 것 같기도 합니다. 문제를 설명할 때 야바위꾼은 나의 선택이 리저브 카드이든 월마트 카드이든 상관없이 "항상" 다른 월마트 상자를 열어 보여준다를 강조해 준다면 더 좋을 것 같습니다.
하지만 으리으리 님이 언급하셨듯이
야바위꾼이 나의 선택을 보고 다른 월마트 상자를 보여줄지, 말지 결정할 수 있다면 야바위꾼이 훨씬 유리해집니다.
처음 고른상자가 월마트 기카면 바로 넌 꽝이야! 라고 할 수 있고(이 부분만 보아도 월마트 기카를 선택할 확률이 벌써 2/3가 됩니다),
처음 고른상자가 리저브상자면, 한 번 더 기회를 줘서 바꾸도록 유도할 수 있기 때문이지요.
직관이 안통해서 저도 별로 안좋아하는 문젠데요. 좀 극단적으로 생각해서요.
상자 100개. 1개 당첨. 99개는 꽝.
내가 1번을 고름.
야바위꾼이 상자 2번~99번까지 열어제끼니 전부다 꽝.
그럼 100번으로 상자 바꿀래 안바꿀래?
처음에 내가 고른 상자가 당첨일 확률 1/100
나머지 99개 상자에 당첨이 있었을 확율 99/100
98개 까고 나면 100번이 당첨일 확률이 높을까 처음 고른 1번이 당첨일 확률이 높을까.
아몰랑~
처음 고른 상자는 1/100
98개 제하고 남은 하나랑 처음 거랑 합해서 1 이 되야니까
남은 거 당첨일 확률이 99/100 이죠
극단으로 몰고 가면
내가 처음 고른게 0프로
나머지에서 아닌거 다 제하고 하나 남기면
그게 전지현
에이~ 이건 너무 유명한 문제아닙니꽈~
내가 야바위꾼이고, 상대방이 이 문제와 답을 들어본 적이 있는 경우엔 내가 개이득요.
처음 고른상자가 월마트 기카면 바로 넌 꽝이야! 라고 하면 내가 이기고,
처음 고른상자가 리저브상자면, 한 번 더 기회를 줘서 바꾸도록 유도하면, 또 내가 이김요!
그니까 그게 처음부터 룰이라면 바꾸는데
내가 고르고서 진행자가 갑자기 그럼 제안을 한다면
그건 바꾸는게 유리하다 못한다
무조건 상자2로 바꿔야죠!
이게 게임이론 문제인지 순수 확률 문제인지에 따라 접근방식이 달라질 수는 있다고 봅니다. 문제를 제시하는 분은 이것부터 먼저 명확하게 할 필요가 있습니다. 게임이론이라면 각 참여자의 전략집합과 보수구조부터 명확히 정의해야 하구요. 이런 종류의 문제들은 대부분 문제가 명확히 정의되지 않았기 때문에 논의가 분분한 것이죠.
그냥 확률문제라면 문제에서 야바위, 리저브, 월마트 등등의 표현에 현혹될 필요 없이 답은 조건부확률에 의해 1/2외에 다른것일 수 없습니다.
제가 쓰고 싶은 답을 유려하게 써주셔서 너무나 기쁩니다. 이런 종류의 문제들은 대부분 어떤 접근방식을 허용할 것인지에 대해 명확하게 하지 않음으로 여러 갈래의 다른 해석을 만들어 내지요. (물론 그런게 재미있습니다만 ㅎㅎㅎ)
저도 순수 확률문제로서 답이 조건부확률에 의해 1/2이라는 것에 도장 꾹 찍습니다. 야바위꾼이 왜 박스를 하나 까면서까지 우리에게 바꿀것을 종용했는지는 우리 모두 지레 짐작하는 바가 있지만요 ㅎㅎㅎ
@두라돌 댓글마다 반대댓글을 달아 죄송합니다. 하지만 수학을 계속 공부해왔고(15년 이상), 확률론, 게임이론 모두 공부해본 대학원생의 의견을 남기자면, 이 문제는 아주 명확히 정의되어 있고, 그것을 논의가 분분하지 않도록 명확히 설명하는 것은 설명하는 사람의 역량이라고 생각합니다. 위에 제가 남긴 댓글에서 보실 수 있겠지만, 선택을 바꾸지 않는 전략의 경우는 리저브 카드를 얻을 확률이 1/3이고, 선택을 바꾸는 전략의 경우는 리저브 카드를 얻을 확률이 2/3이기 때문에 더 확률이 높은 "선택을 바꾸는 전략"을 취하는 것이 최선이라고 할 수 있습니다.
게임이론을 배운지 5년정도 되어 기억이 가물가물하지만, 게임이론은 보통 다수의 참여자(2인 이상)가 존재할 때 개개인이 어떤 전략을 취할지에 대하여 공부하는 것으로 기억하는데, 이 문제의 경우는 참여자가 한명이므로 게임이론과 큰 연관이 없는 것으로 보여집니다. 이 경우는 이 한명의 참여자가 취할 수 있는 전략들(선택을 유지한다, 선택을 바꾼다)중 더 좋은 전략을 선택하기만 하면 되는 것 같습니다.
MmMm님의 답이 저도 맞다고 생각하긴하는데,
두라돌 님이 얘기하는 게임이론으로 푸는 상황은 야바위꾼(?) 역시 플레이어인 경우를 말씀하시는 듯 합니다. 상대의 선택에 따라 바꿀 기회를 주냐 안주냐 야바위꾼도 액션을 달리할 수 있다는 거죠.
야바위꾼은 자신의 보수를 극대화 할것이며
게임참가자 역시 자신의 보수를 극대화 할것이고
야바위꾼은 리저브카드를 어디다가 넣는지, 게임참가자가 선택을 한 후 다른 상자를 열어 보여줄지 안보여줄지 등등의 전략이 존재하고
게임참가자도 어느 상자를 선택할지, 선택을 추후 바꿀지 등등의 전략이 존재하고
두 사람이 참여하고 있으므로 게임의 요소인 경기자, 전략, 보수가 존재하므로 게임상황으로 볼 수 있습니다.
이 부분에서 문제 해석이 갈린듯 하네요! 제가 해석한 내용은 "야바위꾼은 나의 선택이 리저브 카드이든 월마트 카드이든 상관없이 항상 다른 월마트 상자를 열어 보여준다" 였습니다. 그 상황에서는 야바위꾼을 경기자가라고 볼 수 없겠죠. 그리고 위에서 계산한 "선택을 바꾼다" 와 "선택을 바꾸지 않는다" 의 전략들에 해당하는 리저브카드를 얻을 확률은 이 전제 하에서만 맞는 확률입니다.
저는 문제에 쓰여진 문구만으로 이렇게 해석할 것이라고 생각하였는데, 오해의 소지가 있는 것 같기도 합니다. 문제를 설명할 때 야바위꾼은 나의 선택이 리저브 카드이든 월마트 카드이든 상관없이 "항상" 다른 월마트 상자를 열어 보여준다를 강조해 준다면 더 좋을 것 같습니다.
하지만 으리으리 님이 언급하셨듯이
야바위꾼이 나의 선택을 보고 다른 월마트 상자를 보여줄지, 말지 결정할 수 있다면 야바위꾼이 훨씬 유리해집니다.
처음 고른상자가 월마트 기카면 바로 넌 꽝이야! 라고 할 수 있고(이 부분만 보아도 월마트 기카를 선택할 확률이 벌써 2/3가 됩니다),
처음 고른상자가 리저브상자면, 한 번 더 기회를 줘서 바꾸도록 유도할 수 있기 때문이지요.
상관 없습니다. 전략이 하나만 있어도 전략집합이 훌륭하게 정의되기 때문에 항상 보여주든 보여줄지 말지를 선택하든 상관없습니다. 다만 다른 게임이 될 뿐이죠. 더군다나 애초에 리저브 카드를 어디 넣을지 결정하는게 야바위꾼이기 때문에 복수의 전략이 있다는 사실은 변하지 않습니다.
네 좋은 지적입니다! 전략이 하나만 있어도 전략집합을 정의할 수 있습니다. 그래서 두 플레이서 사이의 게임으로 볼 수 있죠.
다만 야바위꾼이 제가 상자를 고른후 항상 월마트 카드가 들어있는 상자를 보여주는 상황에서는,
한개의 전략만이 존재할 것이고, 이 경우에는 굳이 야바위꾼을 게임 참가자로 볼 필요가 있을까요? 야바위꾼의 전략이 단 한가지로 강제되는 경우에는 야바위꾼이 할 일을 로봇이 해주어도 게임결과는 같기 때문에 야바위꾼을 굳이 플레이어로 보지 않고 야바위꾼의 행동을 "게임의 룰"의 일부로 받아들이는 것이 이 상황을 보다 간단히 분석할 수 있다는 측면에서 야바위꾼을 플레이어로 간주하지 않았던 이유입니다.
또한 리저브 카드를 상자1, 2, 3 중 어디에 넣을지 결정할 수 있기 때문에 전략이 3가지 있다고 볼수도 있지만, 각각의 전략은 모두 대칭적이고, 그에 대한 기대보상은 모두 같기 때문에 본질적으로 모두 같은 전략이라고 볼 수 있습니다.
(예를 들어 제(MmMm)가 이 상황에 직접 참여하지 않지만 두가지 전략을 취할수는 있죠. {"야바위꾼을 응원한다", "상자 고르는 사람을 응원한다"} 물론 두가지 전략에 대한 보상은 모두 0입니다. 이러한 경우에 전략집합을 정의할 수 있으니 MmMm을 이 상황에 플레이어로 포함시키는게 좋을까요? 이는 분석을 복잡하게 만드는 불필요한 세팅이라고 보여집니다.)
하지만 이러한 부분은 충분히 본인의 선호에 따라 야바위꾼을 플레이어로 간주할 수 있다고 봅니다. 결과적으론 같은 결론이 도출되어야 하겠지만요.
마지막으로 두라돌님께 하나만 더 여쭤보고 싶습니다.
야바위꾼이 상자를 고른후 "항상" 월마트 카드가 들어있는 상자를 보여주는 상황이라면, 선택을 바꾸는 것과 바꾸지 않는 것 모두 리저브 카드를 얻을 확률이 1/2이라고 생각하시나요?
1) conditional on having picked 리저브 in stage 1: 야바위꾼이 하나 치워준 거는 별 도움이 안되고 바꾸나 안 바꾸나 (리저브 픽할) 조건부확률은 반반
2) conditional on having picked 월마트 in stage 1: 야바위꾼이 하나 치워준 걸로 아주 크리티컬한 정보를 제공받았음. 조건부확률은 바꾸는 게 1, 안바꾸는게 0.
물론 플레이어는 1) 상황인지 2) 상항인지 모르지만 2) 컨디션이 참일 확률이 0만 아니면 (사실은 2/3) 바꾸는게 이득이다.
처음 유지하면 취한 확률 1/3 이고, 나중에 아닌거 보고 바꾸면 1/2 이라 바꾸는게 좋다 라고 들었던거 같다만....
어차피 하나가 제거된 상황에서 이미 똑같이 1/2가 되는거 아닌가요? 라고 매번 생각이 듭니다.
수학문제들이 흥하네요 ㅎㅎ 저는 팝콘좀 튀겨오겠습니다 ㅎㅎㅎㅎ
몬티홀 참 나쁜사람인거 같아요
방송에서 저 말 하고난 후 항의 편지 엄청나게 받았죠 여러 교수들과 수학자로부터...
전 귀찮아서 프로그램 짜서 돌려봤어요.
선택지 안바꾸면 확률 1/3, 바꾸면 2/3...
결론은 보석상이 100만원 손해
근데 왜 야바위꾼이라고 불리는지... 당첨 확률을 높여주는 좋은 사람인데....
사실 '확률'이라는 것 자체가 인위적인 공리들에 의해 만들어진 개념이기 때문에, 우리의 직관과 위배되는 경우가 많습니다. 특히 기대값이 무한대 (shuffling with infinite measure)인 경우에 그런 paradox가 많이 있고요. 요즘 가장 뜨거운 토픽은 sleeping beauty 문제입니다. 최근까지도 여러 논문들이 나오고 있고요. 결국에는 답이 2/3이냐 1/2냐는 그리 중요하지 않고요, 그 답을 통해서 '확률'이 우리의 '믿음'을 정말 잘 반영하는지에 대한 고민해 보는 것이 중요하죠.
https://www.quantamagazine.org/sleeping-beautys-necker-cube-dilemma-20160114
그거 생각나네요
확률 갓배운 러시아 부자가 수학자랑
너 거리에서 남자만 연속으로 백번 보는게 얼마나 힘든지 알아?
그건 우주의 원자 수보다도 많은데서 특정한 하나를 뽑기보다 힘든 거야
어째 인공지능이 이세돌 못 이긴다는 이야기 나올라
뭐 가능할 것 같은데
우하하! 그게 가능하면 내 전재산을 걸겠어
너는 점심 사라 오케?
오케이
하고 나갔는데 군인들이 행진을
아뿔싸!
그럼요. 제가 로또도 될껀데... @24시간 님과 같이...
ㅋㅋ 근데 수학자가 하나만 알고 둘은 모른다
지가 졌으면 꼼짝없이 밥 사야 하는데
지가 이겼어도 수금할 방법이 없는데
아 교수님 오늘 또 좋은 거 배웠습니다
늘 이렇게 가르침을 주시니 참 즐겁습니다 하면 끝!
ㅋㅋㅋㅋ 군인들의 행진을 볼줄이야! 아침부터 빵 터졌네요 ㅋ
아침빵을 선사해주신 히고님께 감사!
ㅋㅋㅋㅋ 빵터짐.
혹시 히고님 전재산이 마이너스면 다시 한번 역전
0(제로) 아닐까요?
야바위꾼와 상대해서 이길 확률은 별로 높지 않습니다.
만약 이긴다면, 그건 야바위꾼과 한게 아닙니다.
상자 2번으로 바꿔야죠. 그럼 처음엔 33.3% 였지만, 3번 상자를 보고 난 뒤에 야바위 꾼이 바꿀 건지 물어본다면 상자 2를 선택해야 사리 카드를 얻을 수 있는 확률이 66.7%가 되니까요.
이거 영화 21에 나온 variable change에 관한 문제랑 같은 맥락의 문제네요^^ (제가 라스베가스 가기 전에 이 영화를 몇번 봤었지만 아무 쓸모없더라는... ㅋ)
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